De sphère à ellipsoïde
Lorsqu'on dit que la Terre est une sphère, on veut dire que sa surface ressemble à une sphère, avec en moyenne un rayon d'environ 6 371 km. Mais la surface de la Terre n'est pas vraiment sphérique. En fait, à une échelle suffisamment petite, sa surface est complètement irréguliaire. Mais avant d'atteindre une si petite échelle, et dans l'optique d'être plus précis que de modéliser sa surface par une simple sphère, il est plus juste de dire que la surface de la Terre est une ellipsoïde (de révolution). C'est une "sphère aplatie sur les pôles", à cause de sa rotation et de la force centrifuge qui en résulte. Pour le modèle ellipsoïdal le plus courant, nommé WGS84, la longueur du "rayon" à l'équateur (le "demi grand axe") est de 6 378 137 m, alors que la longueur du "rayon" aux pôles (le "demi petit axe") est d'environ 6 356 752 m. Soit une différence d'environ 22 km, ou de 0.33% : l'aplatissement n'est pas bien grand, et dans une grande majorité des cas il suffit de dire que la surface de la Terre est sphérique. Néanmoins, si on veut des calculs précis, il faut prendre ça en compte, en particulier, pour calculer la distance entre deux points sur Terre. Le calculateur ci-dessous permet de calculer la distance pour une Terre sphérique, et pour une Terre ellispoïdale, suivant le modèle WGS84 (à l'aide de l'algorithme de Vincenty). La différence varie selon les points considérés, par exemple une Terre sphérique sous-estime la distance Paris-Pékin de 22 km : , alors que la distance de Marseille à Nouméa est surestimée de seulement 300 m .
Calculateur
Distance Terre sphérique : km
Distance Terre sphéroïde : km
Représentations graphiques
Le graphique ci-dessous représente la Terre sur laquelle sont affichés, en rouge, les deux points correspondant aux coordonnées entrées dans le calculateur au dessus. Le trajet le plus court entre ces points, appelé "géodésique", est représenté par une ligne rouge. Bien qu'il soit plus juste de dire que la surface de la Terre soit une ellipsoïde, la différence est trop petite pour se voir graphiquement, donc le graphique du dessous représente une Terre sphérique. La Terre représentée par une ellipsoïde aurait une hauteur d'environ 498.3 pixels pour 500 pixels de largeur. Sur un écran moderne, cette différence ne se verrait pas à l'œil nu, et la sphère a le bon goût de simplifier énormément les calculs graphiques.
Mode d'emploi : il est possible de faire tourner la Terre en cliquant puis déplaçant la souris. La molette de la souris contrôle le zoom (sur téléphone : zoom à 2 doigts). CTRL + clique de souris marque le point correspondent en rouge et note ses coordonnées dans le calculateur au-dessus (sur téléphone : appuie long). Les CTRL + clique successifs alternent entre les points 1 et 2 du calculateur.
Trois choix sont disponibles pour la qualité de l'image : basse, moyenne et haute, qui appliquent respectivement une texture de 2048x1024, 4096x2048, et 8192x4096 pixels. Par défaut, la qualité basse est sélectionnée, la qualité ne se voyant qu'en zoomant. Ces images de la Terre viennent de la NASA.
Qualité :
infinieIl est aussi possible de changer la hauteur de vue de la Terre ci-dessus. Changer la hauteur de vue a un effet différent du zoom. Le zoom ne change pas ce qu'on voit de la Terre, elle la rend juste plus grosse (ou petite) pour mieux voir. La hauteur de vue change de qu'on peut voir de la Terre. Lorsqu'on a les pieds sur Terre, on ne voit guère plus que quelques mètres autour de soi, suivant la topographie du lieu, mais plus on s'élève, plus on voit une grosse portion de la Terre. Par défaut, avec la case "Hauteur infinie" cochée, la Terre est vue telle qu'elle apparaît depuis l'infini. Le zoom est automatiquement ajusté de telle manière à ce que la Terre ait la même taille sur l'écran quelle que soit la hauteur. Il est possible de choisir une hauteur (après avoir décoché la case Hauteur infinie) entre 400 km, environ la hauteur de la station spatiale internationale, et 63781 km, qui correspond à 10 fois le rayon de la Terre. On peut d'ailleurs se mettre dans les conditions de l'ISS pour recréer la fameuse photo à grand angle au dessus du delta du Nile et du Sinaï, aux imprécisions sur l'altitude et déformations de lentille près (requiert de changer la qualité à haute pour y voir quelque chose).
Le deuxième graphique, ci-dessous, est une autre représentation de la Terre, projetée sur un planisphère. Par défaut, la projection utilisée est la projection cylindrique équidistante (ou plate carrée). C'est une projection très simple à calculer, car elle revient à simplement considérer la latitude et la longitude comme des coordonnées cartésiennes. Il n'y a donc, en fait, aucun calcul à faire. Les mêmes points rouges, et la même trajectoire la plus courte entre ces points sont aussi représentées sur cette projection. Comme toutes les projections de la Terre, elle présente des défauts, ici en particulier la distance longitudinale ("horizontale") sur la projection est plus grande que la réalité (sauf à l'équateur), et ça empire au fur et à mesure qu'on regarde vers les pôles. Le ratio tend même vers l'infini aux pôles. On peut remarquer cette déformation de la distance sur cette carte en regardant la distance la plus courte entre deux points, qui n'est pas une ligne droite, surtout lorsque la trajectoire passe près des pôles ! Voir par exemple la géodésique entre Bucarest et Vancouver : , ou cette belle courbe allant des environs du pôle sud aux environs du pôle nord : , ou encore le chemin le plus court de Oulan-Bator à Santiago, qui a l'air tout à fait normal sur la Terre représentée sur une sphère, mais peut surprendre sur une projection . En regardant cette carte, on pourrait dire que les géodésiques sont "attirées" par les pôles, du fait de la moindre distance horizontale à parcourir près des pôles.
Il existe d'autres projections que la plate carrée. Chaque projection a des avantages et des inconvénients, aucune projection n'est parfaite, à cause de la forme courbe de la Terre, pour la même raison qu'il n'est pas possible d'étaler la peau d'une orange parfaitement à plat sur la table sans la déchirer. Certaines projections préservent les angles, certaines préservent l'aire, etc, mais jamais tout à la fois. Ci-dessous, il est possible de choisir différentes projections, de choisir la longitude d'origine, et de choisir d'afficher les méridiens (lignes "verticales") et les latitudes (lignes horizontales).
0°
À part la projection cylindrique équidistance (ou plate carrée), les projections disponibles sont :
- Mercator : cette projection était utile dans le passée car préservant les angles, ce qui permettait de facilement tracer une trajectoire à cap constant (à la boussole). Elle a le désavantage que les aires ne sont pas préservées, en particulier aux poles où l'aire projetée tend vers l'infini, d'où la nécessité de couper la carte à une certaine latitude si on ne veut pas qu'elle soit infiniment haute.
- Gall-Peters : c'est en quelque sorte l'inverse de la projection de Mercator, dans le sens où elle préserve les aires mais pas les angles, et donc introduit des déformations.
- Mollweide : elle conserve les aires, mais n'est pas rectangulaire : les méridiens se croisent en deux points aux pôles nord et sud, ce qui minimise les déformations d'angles, mêmes si elles existent encore. Cette projection est souvent utilisée pour représenter non pas la surface de la Terre mais certaines cartes du ciel, comme expliqué plus bas dans la page.
- Sinusoïdale : similaire à la projection de Mollweide, dans le sens où elle préserve les aires avec les méridiens se croisant aux pôles, mais la projection est calculée de telle façon à ce que les méridiens soient des sinusoïdes.
- Eckert II : très angulaire, les méridiens sont des lignes droites sur chaque hémisphère.
- Peirce quincuncial : cette projection centrée sur le pôle nord a plusieurs propriétés intéressantes. Il y a 4 points qui sont très déformés sur cette projection. Ils se trouvent au milieu de chaque arête du bord de la carte. Par défaut, en "centrant" sur une longitude de 20°, ces 4 points se situent dans les océans, cachant ainsi les défauts. On peut s'en rendre compte en changeant la latitude du centre de telle façon à ce que des terres émergées soient à un de ces 4 points : . Une propriété intéressante de cette projection est qu'on peut coller des copies d'elle-même, tournées une fois sur deux de 180°, sur ses bords, de telle façon à reconstituer l'Antarctique et donc à paver le plan, voir l'exemple.
Cette liste n'est bien sûr pas exhaustive, il existe plein d'autres projections. Voir aussi xkcd/977.
Ces projections sont utilisées dans d'autres domaines que la cartographie terrestre. Par exemple, en cosmologie/astrophysique, il est commun d'observer et de représenter la la sphère céleste. Lorsqu'on regarde le ciel, les étoiles, planètes et galaxies sont tellement loin qu'on a aucune notion de distance. On a l'impression que tous ces objets sont à la même distance de nos yeux, et donc on a l'impression d'observer des points lumineux sur une sphère qui engloberait la Terre. Étant donné que c'est une sphère (bien sûr, elle n'existe pas réellement, ce n'est qu'une image que notre cerveau nous donne), on peut utiliser les mêmes algorithmes pour la projeter sur une surface plane. Le point de vue est un peu différent, vu que la sphère céleste est au dessus de nous, alors que la surface terrestre est bien sous nos pieds, sauf séjour dans une cave ou autres profondeurs. En quelque sorte, on a affaire à des cartes du ciel et il est commun d'utiliser la projection de Mollweide pour les représenter. La carte la plus notable est celle du fond diffu cosmologique.
On peut s'amuser à reprojeter ces cartes, même sur le modèle sphérique en haut de la page. Ci-dessous il est possible de choisir trois cartes : celle de la Terre, celle du fond diffu cosmologique, et aussi une image du ciel (qui montre principalement notre galaxie) tel qu'observé par Gaia. Bien entendu, pour les cartes célestes, le calculateur de distances en haut de la page n'a aucun sens.